Question

4．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}2{（x+1）^2}，\;a≤x＜k\\{log_2}（x+1）+1，\;\;k≤x≤1.\end{array}\right.$若存在实数k使得该函数值域为[0，2]，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-2]
• B． [-2，-1]
• C． [-2，-$\frac{1}{2}$）
• D． [-2，0]

Answer 1

分析 分别作出函数y=log₂（x+1）+1和y=2（x+1）²的图象，观察函数值在[0，2]内的图象，讨论最小值和最大值的情况，即可得到结论．

解答 解：由分段函数的表达式得-1＜k≤1，
此时函数f（x）在[k，1]上为增函数，此时f（1）=log₂2+1=1+1=2，f（k）=log₂（k+1）+1，
此时log₂（k+1）+1≤f（x）≤2，
当a≤x＜k时，f（x）=2（x+1）²在[a，k）上不是增函数
若f（x）=2（x+1）²=2得（x+1）²=1，即x=0或-2，
若f（x）=2（x+1）²=0得x=-1，
若log₂（x+1）+1=0，则log₂（x+1）=-1，
则x+1=$\frac{1}{2}$，即x=-$\frac{1}{2}$，
若存在实数k使得该函数值域为[0，2]，
则-$\frac{1}{2}$≤k≤1，
若a＜-2，则此时函数f（x）＞2，不满足条件．排除A．
当a=-2时，f（-2）=2，此时当-$\frac{1}{2}$≤k≤1满足条件，
当a=0时，f（0）=2，当0≤x＜k时，f（x）≥2，不存在实数k使得该函数值域为[0，2]，排除D．
若存在实数k使得该函数值域为[0，2]，
则-2≤a＜-$\frac{1}{2}$，
故选：C．

点评 本题考查已知函数的值域，求参数的范围，考查数形结合的思想方法，注意观察和分析，考查运算能力，属于中档题和易错题．