Question

13．若数列{a_n}与{b_n}满足b_n+1a_n+b_na_n+1=（-1）ⁿ+1，b_n=$\frac{3+（-1）^{n-1}}{2}$，n∈N^*，且a₁=2，设数列{a_n}的前n项和为S_n，则S₆₁=527．

Answer 1

分析 b_n+1a_n+b_na_n+1=（-1）ⁿ+1，b_n=$\frac{3+（-1）^{n-1}}{2}$，n∈N^*，a₁=2，可得：a₂=-1．n=2k-1（k∈N^*）时，2a_2k+a_2k-1=0．n=2k（k∈N^*）时，2a_2k+a_2k+1=2．
可得a_2k+1-a_2k=2，a_2k+2-a_2k=-1，因此数列{a_n}的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差分别为2，-1．即可得出．

解答 解：∵b_n+1a_n+b_na_n+1=（-1）ⁿ+1，b_n=$\frac{3+（-1）^{n-1}}{2}$，n∈N^*，a₁=2，
∴b₁=2，b₂=1，b₂a₁+b₁a₂=0，a₂=-1．
n=2k-1（k∈N^*）时，2a_2k+a_2k-1=0．
n=2k（k∈N^*）时，2a_2k+a_2k+1=2．
∴a_2k+1-a_2k=2，a_2k+2-a_2k=-1，
∴数列{a_n}的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差分别为2，-1．
∴S₆₁=（a₁+a₃+…+a₆₁）+（a₂+a₄+…+a₆₀）
=$31×2+\frac{31×30}{2}×2$+（-1）×30+$\frac{30×29}{2}×$（-1）
=527．
故答案为：527．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、分类讨论方法、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．