Question

5．在△ABC中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，且c＜a，已知$\overrightarrow{CB}$•$\overrightarrow{BA}$=-2，tanB=2$\sqrt{2}$，b=3．
（1）求a和c的值；
（2）求sin（B-C）的值．

Answer 1

分析 （1）由tanB=2$\sqrt{2}$得cosB，由知$\overrightarrow{CB}$•$\overrightarrow{BA}$=-2得accosB=2，解得ac，由余弦定理及a＞c，即可解得a，c的值．
（2）由（Ⅰ）可求sinB，由正弦定理可求sinC，cosC，利用两角差的正弦函数公式即可得解．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow{CB}$•$\overrightarrow{BA}$=-2，
∴$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$=2，
∴cacosB=2，
∵tanB=2$\sqrt{2}$，
∴cosB=$\frac{1}{\sqrt{1+tanB}}$=$\frac{1}{3}$，
∴ac=2
在△ABC中，由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，
即a²+c²=13，
∴a=2，c=3，或a=3，c=2，
∵a＞c，
∴a=3，c=2．
（2）在△ABC中，sinB=cosB•tanB=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
由正弦定理得sinC=$\frac{csinB}{b}$=$\frac{2}{3}$•$\frac{2\sqrt{2}}{3}$=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$，
∵a=b＞c，
∴C为锐角，
∴cosC=$\sqrt{1-si{n}^{2}C}$=$\frac{7}{9}$，
∴sin（B-C）=sinBcosC-cosBsinC=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$×$\frac{7}{9}$+$\frac{1}{3}$×$\frac{4\sqrt{2}}{9}$=$\frac{10\sqrt{2}}{27}$

点评 本题主要考查了余弦定理，正弦定理，两角差的正弦函数公式，平面向量数量积的运算，属于中档题．