Question

15．设数列{a_n}的前项和为S_n，若$\frac{{S}_{n}}{{S}_{2n}}$为常数，则称数列{a_n}为“精致数列”．已知等差数列{b_n}的首项为1，公差不为0，若数列{b_n}为“精致数列”，则数列{b_n}的通项公式为${b_n}=2n-1，（n∈{N^*}）$．

Answer 1

分析 由题意设数列{b_n}的公差为d（d≠0），$\frac{{S}_{n}}{{S}_{2n}}$=k，代入等差数列的前n项和与前2n项和，整理后得（4k-1）dn+（2k-1）（2-d）=0，由该式对任意n∈N^*都成立，得
$\left\{\begin{array}{l}{d（4k-1）=0}\\{（2k-1）（2-d）=0}\end{array}\right.$，求解方程组得到公差d，则数列{b_n}的通项公式可求．

解答 解：设数列{b_n}的公差为d（d≠0），$\frac{{S}_{n}}{{S}_{2n}}$=k，
∵b₁=1，
∴$n+\frac{1}{2}n（n-1）d=k[2n+\frac{1}{2}2n（2n-1）d]$，
即2+（n-1）d=4k+2k（2n-1）d，
整理得：（4k-1）dn+（2k-1）（2-d）=0，
∵上式对任意n∈N^*都成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{d（4k-1）=0}\\{（2k-1）（2-d）=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{d=2}\\{k=\frac{1}{4}}\end{array}\right.$．
∴${b_n}=2n-1，（n∈{N^*}）$．
故答案为：${b_n}=2n-1，（n∈{N^*}）$．

点评 本题是新定义题，考查了等差数列的前n项和，考查了数列的函数特性，是中档题．