Question

6．已知数列{a_n}和{b_n}满足a₁=1，b₁=2，a_n+1b_n=a_nb_n+2a_n+4
（Ⅰ）若b_n=2a_n，求证：当n≥2时，$n+2≤{a_n}≤\frac{3}{2}n+1$；
（Ⅱ）若${b_{n+1}}=\frac{{{a_n}{b_n}+2{b_n}+4}}{a_n}$，证明a_n＜10．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过将b_n=2a_n代入a_n+1b_n=a_nb_n+2a_n+4化简可知数列{a_n}递增，当n≥2时放缩可知$1＜{a_{n+1}}-{a_n}≤\frac{3}{2}$，利用a_n=a₂+（a₃-a₂）+（a₄-a₃）+…+（a_n-a_n-1）计算即得结论；
（Ⅱ）通过对a_n+1b_n=a_nb_n+2a_n+4、${b_{n+1}}=\frac{{{a_n}{b_n}+2{b_n}+4}}{a_n}$变形、进而作差，化简即得结论．

解答 证明：（Ⅰ）将b_n=2a_n代入a_n+1b_n=a_nb_n+2a_n+4，
可得：${a_{n+1}}={a_n}+\frac{2}{a_n}+1$，
由a₁=1知a_n＞0，
∴${a_{n+1}}-{a_n}=\frac{2}{a_n}+1＞1$，即数列{a_n}递增，
故当n≥2时，$1＜{a_{n+1}}-{a_n}≤\frac{2}{a_n}+1≤\frac{2}{a_2}+1$，即$1＜{a_{n+1}}-{a_n}≤\frac{3}{2}$，
又a_n=a₂+（a₃-a₂）+（a₄-a₃）+…+（a_n-a_n-1），
所以${a_2}+（n-2）≤{a_n}≤{a_2}+\frac{3}{2}（n-2）$，
即$n+2≤{a_n}≤\frac{3}{2}n+1$；
（Ⅱ）由a₁＞0，b₁＞0以及递推式知a_n＞0，b_n＞0，
又∵$\left\{\begin{array}{l}{a_{n+1}}+2=\frac{{（{a_n}+2）（{b_n}+2）}}{b_n}\\{b_{n+1}}+2=\frac{{（{a_n}+2）（{b_n}+2）}}{a_n}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{{{a_{n+1}}+2}}=\frac{b_n}{{（{a_n}+2）（{b_n}+2）}}\\ \frac{1}{{{b_{n+1}}+2}}=\frac{a_n}{{（{a_n}+2）（{b_n}+2）}}\end{array}\right.$，
从而有$\frac{1}{{{a_{n+1}}+2}}-\frac{1}{{{b_{n+1}}+2}}=\frac{b_n}{{（{a_n}+2）（{b_n}+2）}}-\frac{a_n}{{（{a_n}+2）（{b_n}+2）}}=\frac{{（{b_n}+2）-（{a_n}+2）}}{{（{a_n}+2）（{b_n}+2）}}$
=$\frac{1}{{{a_n}+2}}-\frac{1}{{{b_n}+2}}=…=\frac{1}{{{a_1}+2}}-\frac{1}{{{b_1}+2}}=\frac{1}{12}$，
所以$\frac{1}{{{a_n}+2}}＞\frac{1}{12}$，因此a_n＜10．

点评 本题是一道关于数列递推式的不等式，考查运算求解能力，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．