Question

17．已知数列{a_n}的通项公式为a_n=n，{b_n}的通项公式为b_n=2ⁿ，c_n的值为{a_n}的前n项中含有{b_n}中元素的个数，记S_n为数列{c_n]的前n项和，则下列说法中正确的为①②（填上所有正确结论的序号）．
①当n=2^k（k=1，2，3…）时，c_n=k；
②当n=2^k+1-1（k=1，2，3…）时，c_n=k；
③当n=2^k+1-1（k=1，2，3…）时，S_n=（k-1）•2^k+1+2．

Answer 1

分析 ①当n=2^k（k=1，2，3…）时，数列{a_n}的前n项中含有{b_n}中元素为：2¹，2²，…，2^k，共有k个元素；
②当n=2^k+1-1（k=1，2，3…）时，数列{a_n}的前n项中：1，2¹，2¹+1，2²，2²+1，2²+2，2²+3，2³，…，2^k，2^k+1，…，2^k+2^k-1（即2^k+1-1），即可判断出正误．
③当n=2^k+1-1（k=1，2，3…）时，利用②及其等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：①当n=2^k（k=1，2，3…）时，数列{a_n}的前n项中含有{b_n}中元素为：2¹，2²，…，2^k，共有k个元素，因此c_n=k，正确；
②当n=2^k+1-1（k=1，2，3…）时，数列{a_n}的前n项中：1，2¹，2¹+1，2²，2²+1，2²+2，2²+3，2³，…，2^k，2^k+1，…，2^k+2^k-1（即2^k+1-1）．因此含有{b_n}中元素为：2¹，2²，…，2^k，共有k个元素，因此c_n=k，正确；
③当n=2^k+1-1（k=1，2，3…）时，S_n=2¹+2²+…+2^k=$\frac{2（{2}^{k}-1）}{2-1}$=2^k+1-2．因此不正确．
综上可知：只有①②正确．
故答案为：①②．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．