Question

7．如图在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱CC₁的中点．
（Ⅰ）证明：AC₁∥平面BDE；
（Ⅱ）证明：AC₁⊥BD
（Ⅲ）证明：面BDE⊥面ACC₁．

Answer 1

分析 （I）连接AC交BD于O，连接OE，推导出AC₁∥OE，由此能证明AC₁∥平面BDE．
（II）推导出AC⊥BD，由此能证明CC₁⊥BD．
（Ⅲ）由面ACC₁⊥BD，能证明面BDE⊥面ACC₁．

解答 证明：（I）连接AC交BD于O，连接OE
∵ABCD是正方形，∴O为AC的中点，
∵E是棱CC₁的中点，∴AC₁∥OE，
又∵AC₁?平面BDE，OE?平面BDE，
∴AC₁∥平面BDE．
（II）∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵CC₁⊥平面ABCD，且BD?平面ABCD，
∴CC₁⊥BD．
（Ⅲ）由（Ⅱ）得，面ACC₁⊥BD，BD?平面BDE，
∴面BDE⊥面ACC₁．

点评 本题考查线面平行的证明，考查异面直线垂直的证明，考查面面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．