Question

19．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且x≥0时，$f（x）={（{\frac{1}{2}}）^x}$
（1）求函数f（x）的值域A；
（2）解不等式f（lgx）＞f（-1）；
（3）设函数$g（x）=\sqrt{-{x^2}+（{a-1}）x+a}$的定义域为集合B，若A∩B≠∅，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用函数偶函数的性质，转化为求当x≥0时的取值范围即可．
（2）根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化即可．
（3）求出集合B，利用集合的关系建立不等式关系即可得到结论．

解答 解：（1）由函数f（x）是定义在R上的偶函数，可得函数f（x）的值域A即为x≥0时，f（x）的取值范围．
当x≥0时，$0＜{（{\frac{1}{2}}）^x}≤1$，故函数f（x）的值域A=（0，1]．
（2）当x≥0时，$f（x）={（{\frac{1}{2}}）^x}$则函数为减函数，
∵f（lgx）＞f（-1），∴不等式等价为f（|lgx|）＞f（1），
即|lgx|＜1，∴-1＜lgx＜1
解得$\frac{1}{10}＜x＜10$，即不等式的解集为（$\frac{1}{10}$，10），
（3）∵$g（x）=\sqrt{-{x^2}+（{a-1}）x+a}$
∴函数g（x）的定义域B={x|-x²+（a-1）x+a≥0}={x|（x-a）（x+1）≤0}
若a≤-1，则B={x|a≤x≤-1}，此时A∩B=∅，不符合题意，
故a＞-1，即B={x|-1＜x＜a}，
∵A∩B≠∅，所以a＞0，
综上所述，a的取值范围为a＞0．

点评 本题主要考查函数的值域，单调性和奇偶性的关系和应用，利用函数的性质进行转化是解决本题的关键．