Question

6．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，b=acosC+$\frac{\sqrt{3}}{3}$asinC．
（I）求A；
（Ⅱ）若a=2，b+c≥4，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理将角化边得出b²+c²-a²=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$absinC=2bccosA，再使用正弦定理得出tanA；
（2）利用余弦定理和基本不等式可得bc≥4，bc≤4，故bc=4．

解答 解：（1）在△ABC中，∵b=acosC+$\frac{\sqrt{3}}{3}$asinC，
∴b=a×$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$+$\frac{\sqrt{3}}{3}$asinC．
即b²+c²-a²=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$absinC．
又∵b²+c²-a²=2bccosA，
∴$\frac{\sqrt{3}}{3}$asinC=ccosA，
∴$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinAsinC=sinCcosA，
∴tanA=$\sqrt{3}$．
∴A=$\frac{π}{3}$．
（2）由余弦定理得：cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-4}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，∴b²+c²=bc+4≥2bc，∴bc≤4．
又b²+c²=bc+4，∴（b+c）²=3bc+4，
∵b+c≥4，∴（b+c）²=3bc+4≥16，∴bc≥4．
∴bc=4．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{1}{2}×4×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正余弦定理，基本不等式的应用，属于中档题．