Question

17．已知二次函数f（x）同时满足下列条件：
（1）f（x+1）=f（1-x），
（2）f（x）的最大值15，
（3）f（x）=0的两根的平方和等于17，求f（x）的解析式．

Answer 1

分析 由二次函数f（x）同时满足下列两个个条件：（1）f（1+x）=f（1-x）；（2）f（x）的最大值为15；可设f（x）=a（x-1）²+15（a＜0）．又f（x）=0的两根的平方和等于32．利用根与系数的关系即可得出a．

解答 解：由二次函数f（x）同时满足下列两个条件：
（1）f（1+x）=f（1-x）；（2）f（x）的最大值为15；
说明其对称轴为x=1，抛物线开口向下．
可设f（x）=a（x-1）²+15（a＜0）．
化为f（x）=ax²-2ax+a+15，
设f（x）=0的两个实数根为x₁，x₂．
∴x₁+x₂=2，x₁x₂=$\frac{a+15}{a}$．（*）
∵f（x）=0的两根的平方和等于17，
∴${{x}_{1}}^{2}$+${{x}_{2}}^{2}$=17．
化为（x₁+x₂）²-2x₁x₂=17．
把（*）代入上式得2²-2×$\frac{a+15}{a}$=17，解得a=-2．
∴f（x）=-2（x-1）²+15=-2x²+4x+13．

点评 本题综合考查了二次函数的对称性、最值及其零点等基础知识与基本方法，属于中档题．