Question

9．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足3S_n=a_n+1，n≥1，a₁=1，求数列{a_n}的通项公式，并求S_n．

Answer 1

分析 由3S_n=a_n+1化简可得a_n+1=4a_n，从而写出数列{a_n}的通项公式，再求S_n．

解答 解：∵3S_n=a_n+1，3S_n-1=a_n，
∴3a_n=a_n+1-a_n，
∴a_n+1=4a_n，
又∵a₁=1，a₂=3，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{3•{4}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$，
∴S_n=1+3+12+…+3•4^n-2=1+3•$\frac{1-{4}^{n-1}}{1-4}$
=4^n-1．

点评 本题考查了数列的通项公式与前n项和公式的求法及应用，属于中档题．