Question

4．已知x∈（0，$\frac{π}{2}$），求函数f（x）=$\frac{1+cos2x+8si{n}^{2}x}{sin2x}$的最小值．

Answer 1

分析 先利用二倍角公式和同角三角函数的基本关系对函数解析式化简整理，然后利用基本不等式求得函数的最小值．

解答 解：∵x∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴tanx＞0，
∴f（x）=$\frac{1+cos2x+8si{n}^{2}x}{sin2x}$=$\frac{8si{n}^{2}x+2co{s}^{2}x}{2sinxcosx}$=$\frac{4sinx}{cosx}$+$\frac{cosx}{sinx}$=4tanx+$\sqrt{\frac{1}{tanx}}$≥2$\sqrt{4tanx•\frac{1}{tanx}}$=4，当且仅当tanx=$\frac{1}{2}$时取等号，
∴f（x）=$\frac{1+cos2x+8si{n}^{2}x}{sin2x}$的最小值为4．

点评 本题主要考查了同角三角函数的基本关系的应用，二倍角化简求值，基本不等式的求最值．考查了基础知识的综合运用．