Question

14．设实数a，b，c满足a²+b²≤c≤1，则a+$\sqrt{3}$b+$\frac{1}{2}$c的最小值是-$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 由已知式子和配方法及不等式可得a+$\sqrt{3}$b+$\frac{1}{2}$c≥$\frac{1}{2}$[（a+1）²+（b+$\sqrt{3}$^）2]-2，由式子的几何意义可得．

解答 解：∵实数a，b，c满足a²+b²≤c≤1，
∴a+$\sqrt{3}$b+$\frac{1}{2}$c≥a+$\sqrt{3}$b+$\frac{1}{2}$a²+$\frac{1}{2}$b²
=$\frac{1}{2}$[（a+1）²+（b+$\sqrt{3}$^）2]-2，
而（a+1）²+（b+$\sqrt{3}$^）2表示点（a，b）到点（-1，-$\sqrt{3}$）的距离平方，
又点（a，b）在单位圆a²+b²=1即内部，故最小距离为$\sqrt{（-1）^{2}+（-\sqrt{3}）^{2}}$-1=1，
故（a+1）²+（b+$\sqrt{3}$^）2的最小值为1，原式的最小值为-$\frac{3}{2}$，
故答案为：-$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查式子的最值，由不等式和配方法转化为数形结合是解决问题的关键，属中档题．