Question

9．已知α∈（0，$\frac{π}{2}$），且sin（$α-\frac{π}{3}$）=$\frac{5}{13}$
（1）求cosα的值；
（2）求sin（2α-$\frac{π}{6}$）的值．

Answer 1

分析 （1）令t=$α-\frac{π}{3}$，由已知可求范围t∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$），从而利用同角三角函数基本关系式可求cost的值，由α=t+$\frac{π}{3}$，利用两角和的正弦函数公式即可化简求值．
（2）利用角的关系，2α-$\frac{π}{6}$=2（t+$\frac{π}{3}$）-$\frac{π}{6}$=2t+$\frac{π}{2}$，根据诱导公式，二倍角的余弦函数公式即可化简求值．

解答 （本题满分14分）
解：令t=$α-\frac{π}{3}$，由α∈（0，$\frac{π}{2}$），则t∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$），
又∵sin（$α-\frac{π}{3}$）=$\frac{5}{13}$即sint=$\frac{5}{13}$，
则cost=$\sqrt{1-si{n}^{2}t}$=$\sqrt{1-（\frac{5}{13}）^{2}}$=$\frac{12}{13}$． …（2分）
（1）cosα=cos（t+$\frac{π}{3}$）  …（4分）
=costcos$\frac{π}{3}$-sintsin$\frac{π}{3}$    …（6分）
=$\frac{12}{13}×\frac{1}{2}-\frac{5}{13}×\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{12-5\sqrt{3}}{26}$；  …（7分）
（2）sin（2α-$\frac{π}{6}$）=sin[2（t+$\frac{π}{3}$）-$\frac{π}{6}$]=sin（2t+$\frac{π}{2}$） …（10分）
=cos2t=cos²t-sin²t  …（12分）
=（$\frac{12}{13}$）²-（$\frac{5}{13}$）²
=$\frac{119}{169}$．  …（14分）

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．