Question

17．已知函数f（x）=sinx+cosx，若f₁（x）=f′（x），f_n+1（x）=f′_n（x）（n∈N⁺），则f₂₀₁₆（$\frac{π}{3}$）=（　　）

• A． -$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}+1}{2}$
• C． $\frac{1-\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$

Answer 1

分析 求函数的导数，利用导数的运算法则可得f_n+4（x）=f_n（x）．n∈N，利用函数的周期性进行求解即可得出

解答 解：∵f（x）=sinx+cosx，
∴f₁（x）=f′（x）=cosx-sinx，
f₂（x）=f₁′（x）=-sinx-cosx，
f₃（x）=-cosx+sinx，
f₄（x）=sinx+cosx，
以此类推，可得出f_n（x）=f_n+4（x）
即f_n（x）是周期为4的周期函数，
∴f₂₀₁₆（x）=f_504×4（x）=f（x）=sinx+cosx，
则f₂₀₁₆（$\frac{π}{3}$）=sin$\frac{π}{3}$+cos$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，
故选：B．

点评 本题考查三角函数的导数、周期性、及观察归纳思想的运用，属于基础题．熟练掌握三角函数的求导法则，利用其中的函数周期性则解决本题的关键．