Question

17．已知定义域为R的函数$f（x）=\frac{{-{2^x}+b}}{{{2^{x+1}}+2}}$是奇函数．
（1）求f（x）；
（2）判断函数f（x）的单调性（不必证明）；
（3）解不等式f（|x|+1）+f（x）＜0．

Answer 1

分析 （1）根据f（x）是R上的奇函数，f（0）=0，求出b的值1即可；
（2）化简f（x），判断f（x）在R上为减函数；
（3）利用f（x）的单调性与奇偶性，化简不等式并求出解集．

解答 解：（1）因为f（x）是R上的奇函数，
所以f（0）=0，即$\frac{-1+b}{2+2}$=0，解得b=1；
从而有$f（x）=\frac{{-{2^x}+1}}{{{2^{x+1}}+2}}$；…（2分）
经检验，符合题意；…（3分）
（2）由（1）知，f（x）=$\frac{{-2}^{x}+1}{{2}^{x+1}+2}$=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{x}+1}$；
由y=2^x的单调性可推知f（x）在R上为减函数； …（6分）
（3）因为f（x）在R上为减函数且是奇函数，从而不等式
f（1+|x|）+f（x）＜0等价于f（1+|x|）＜-f（x），
即f（1+|x|）＜f（-x）； …（7分）
又因f（x）是R上的减函数，
由上式推得1+|x|＞-x，…（8分）
解得x∈R．…（10分）

点评 本题考查了函数的单调性与奇偶性的应用问题，也考查了不等式的解法与应用问题，是基础题目．