Question

9．如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AD．E，F分别为底边AB和侧棱PC的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）求证：EF⊥FD．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取线段DP的中点G，连接AG、FG，则FG为△PCD的中位线，从而FG∥CD且$FG=\frac{1}{2}CD$，进而四边形AEFG为平行四边形，由此得到EF∥AG，从而能证明EF∥平面PAD．
（Ⅱ）推导出PA⊥CD，AD⊥CD，从而CD⊥平面PAD，再推导出AG⊥平面PCD，由此能证明EF⊥FD．

解答 证明：（Ⅰ）如图所示，取线段DP的中点G，连接AG、FG
由题意知FG为△PCD的中位线，故有FG∥CD且$FG=\frac{1}{2}CD$，
而AE∥CD，且$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}CD$，
∴线段AE与FG平行且相等，
∴四边形AEFG为平行四边形，∴EF∥AG，
∵EF?平面PAD，AG⊆平面PAD，
∴由线面平行的判定定理得：EF∥平面PAD．
（Ⅱ）∵PA⊥底面ABCD，CD?底面ABCD，∴PA⊥CD
由四边形ABCD为正方形，知AD⊥CD，
又PA∩AD=A且PA，AD⊆平面PAD，
∴由线面垂直的判定定理可得：CD⊥平面PAD，
∵AG?平面PAD，∴AG⊥CD，
又在Rt△PAD中，PA=AD，PG=GD，∴AG⊥PD，
而CD∩PD=D，CD，PD?平面CDP，∴AG⊥平面PCD，
由（Ⅰ）知：EF∥AG，∴EF⊥平面PCD，
又FD?平面PCD，∴EF⊥FD．

点评 本题考查线面平行的证明，考查线线垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．