Question

17．试用二重积分性质求下列极限
$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1}{{n}^{3}}$$\underset{∬}{D}$[$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$]dσ．
这里D是圆域x²+y²≤n²，n是正整数，[$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$]是不是大于$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$的最大正整数．
（已知1²+2²+…+n²=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$）

Answer 1

分析 先利用二重积分求得：$\underset{∬}{D}$[$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$]dσ=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$，再求极限．

解答 解：$\underset{∬}{D}$[$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$]dσ=1²+2²+…+n²=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$
$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1}{{n}^{3}}$$\underset{∬}{D}$[$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$]dσ=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1}{{n}^{3}}$$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$=$\frac{1}{3}$．
故答案为：=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查二重积分和求极限，属于中档题．