Question

10．如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC，BD⊥平面ABC，AC=BC=BD=2AE=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}AB$，M是AB的中点．
（1）求证：CM⊥EM；
（2）求MC与平面EAC所成的角．

Answer 1

分析 （1）根据题意得到三角形ABC为等腰直角三角形，根据M为AB中点，得到AM=BM=CM，且CM垂直于AB，根据EA与面ABC垂直，得到EA与AC垂直，设AM=BM=CM=1，表示出EM，EC，利用勾股定理的逆定理判断即可得证；
（2）过M作MN⊥AC，可得∠MCA为MC与平面EAC所成的角，求出即可．

解答 （1）证明：∵AC=BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∵M为AB的中点，
∴AM=BM=CM，CM⊥AB，
∵EA⊥平面ABC，
∴EA⊥AC，
设AM=BM=CM=1，则有AC=$\sqrt{2}$，AE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
在Rt△AEC中，根据勾股定理得：EC=$\sqrt{A{E}^{2}+A{C}^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
在Rt△AEM中，根据勾股定理得：EM=$\sqrt{A{E}^{2}+A{M}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴EM²+MC²=EC²，
∴CM⊥EM；
（2）解：过M作MN⊥AC，可得∠MCA为MC与平面EAC所成的角，
则MC与平面EAC所成的角为45°．

点评 此题考查了空间中直线与直线之间的位置关系，勾股定理及逆定理，以及直线与平面的夹角，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．