Question

18．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，AA₁=3，D为AC的中点．
（1）求证：AB₁∥平面BDC₁；
（2）求二面角B₁-C₁D-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）连接B₁C与BC₁相交0，连接OD，根据线面平行的判定定理即可证明AB₁∥平面BDC₁；
（2）建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法进行求解．

解答 证明：连接B₁C与BC₁相交0，连接OD，

∵BCC₁B₁是矩形，
∴O是B₁C的中点，
∵D为AC的中点，
∴OD∥AB₁，
∵AB₁?平面BDC₁，CD?平面BDC₁
∴AB₁∥平面BDC₁；
（2）建立空间坐标系如图：

则C₁（0，0，0），B（0，3，2），C（0，3，0），A（2，3，0），D（1，3，0），B₁（0，0，2）．
则$\overrightarrow{{C}_{1}B}$=（0，3，2），$\overrightarrow{{C}_{1}D}$=（1，3，0），$\overrightarrow{{C}_{1}{B}_{1}}$=（0，0，2），
令平面B₁DC的一个法向量为$\overrightarrow m=（x，y，z）$
$\overrightarrow{{C}_{1}B}$$•\overrightarrow{m}$=0，$\overrightarrow{{C}_{1}D}$$•\overrightarrow{m}$=0，从而有$\left\{\begin{array}{l}{3y+2z=0}\\{x+3y=0}\end{array}\right.$，
不妨令x=1，则y=-$\frac{1}{3}$，z=$\frac{1}{2}$
得到平面B₁DC的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（1，-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$）
令平面B₁C₁D的一个法向量为$\overrightarrow n=（x，y，z）$，
所以$\overrightarrow{n}$$•\overrightarrow{{C}_{1}{B}_{1}}$=0$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{C}_{1}D}=0$，从而有，$\left\{\begin{array}{l}{z=0}\\{x+3y=0}\end{array}\right.$，不妨令y=-1，则x=3，z=0
得到平面B₁C₁D的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（3，-1，0），…（10分）
因为$cos＜\overrightarrow m，\overrightarrow n＞=\frac{\overrightarrow m•\overrightarrow n}{{|{\overrightarrow m}|•|{\overrightarrow n}|}}$=$\frac{3+\frac{1}{3}}{\frac{7}{6}•\sqrt{10}}$=$\frac{2\sqrt{10}}{7}$．…（11分）
则二面角B₁-C₁D-B的余弦值是$\frac{2\sqrt{10}}{7}$．

点评 本题主要考查线面平行的判定以及二面角的求解，建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解决空间二面角的常用方法，综合性较强，运算量较大．