Question

13．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（2a-1）x+a（x＜2）}\\{lo{g}_{a}（x-1）（x≥2）}\end{array}\right.$是R上的减函数，则实数a的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$）
• B． [$\frac{2}{5}$，$\frac{1}{2}$）
• C． [$\frac{2}{5}$，1）
• D． （0，$\frac{1}{2}$）

Answer 1

分析 由分段函数的性质结合一次函数和对数函数的单调性，列出不等式组，由此能求出实数a的取值范围．

解答 解：∵函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（2a-1）x+a（x＜2）}\\{lo{g}_{a}（x-1）（x≥2）}\end{array}\right.$是R上的减函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a-1＜0}\\{0＜a＜1}\\{lo{g}_{a}（2-1）≤2（2a-1）+a}\end{array}\right.$，
解得$\frac{2}{5}≤a＜\frac{1}{2}$．
∴实数a的取值范围是[$\frac{2}{5}$，$\frac{1}{2}$）．
故选：B．

点评 本题考查满足条件的实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分段函数的性质的合理运用．