Question

8．四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD，AD⊥DC，PA⊥底面ABCD，PA=AD=AB=$\frac{1}{2}$CD=1，M为PB的中点，求直线CM与平面ABCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 以AD、AB、AP所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，利用向量法能求出直线CM与平面ABCD所成角的正弦值．

解答 解：∵四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD，AD⊥DC，PA⊥底面ABCD，PA=AD=AB=$\frac{1}{2}$CD=1，M为PB的中点，
∴以AD、AB、AP所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，
则由题意得A（0，0，0），B（0，1，0），C（1，2，0），P（0，0，1），M（0，$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$），
则$\overrightarrow{MC}$=（1，$\frac{3}{2}，-\frac{1}{2}$），平面ABCD的法向量$\overrightarrow{AP}$=（0，0，1），
设直线CM与平面ABCD所成角为θ
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{MC}•\overrightarrow{AP}|}{|\overrightarrow{MC}|•|\overrightarrow{AP}|}$=$\frac{|-\frac{1}{2}|}{\sqrt{\frac{14}{4}}}$=$\frac{\sqrt{14}}{14}$．
故直线CM与平面ABCD所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{14}}{14}$．

点评 本题考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．