Question

17．已知命题P：x²+x+4≥mx对一切的x＜0恒成立，命题q：关于x的一元二次方程x²+（m-3）x+m+5=0的实数根均是正数，若“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 对于命题p：x²+x+4≥mx对一切的x＜0恒成立，即$m≥x+\frac{4}{x}+6$对一切的x＜0恒成立，变形利用基本不等式的性质即可得出．关于x的一元二次方程x²+（m-3）x+m+5=0的实数根均是正数，可得$\left\{{\begin{array}{l}{△={{（{m-3}）}^2}-4（{m+5}）≥0}\\{{x_1}+{x_2}=3-m＞0}\\{{x_1}•{x_2}=m+5＞0}\end{array}}\right.$．再利用“p∨q”为真，“p∧q”为假，即可得出．

解答 解：∵x²+x+4≥mx对一切的x＜0恒成立，即$m≥x+\frac{4}{x}+6$对一切的x＜0恒成立，
又∵$x+\frac{4}{x}+1=-[{（{-x}）+（{-\frac{4}{x}}）}]+1≤-2\sqrt{（{-x}）（{-\frac{4}{x}}）}+6=-3$，当且仅当$-x=-\frac{4}{x}$即x=-2时，取等号，
∴p为真，则m≥-3．
∵关于x的一元二次方程x²+（m-3）x+m+5=0的实数根均是正数，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{△={{（{m-3}）}^2}-4（{m+5}）≥0}\\{{x_1}+{x_2}=3-m＞0}\\{{x_1}•{x_2}=m+5＞0}\end{array}}\right.$解得-5＜m≤-1．
∴q为真，则-5＜m≤-1．
∵p∨q”为真，“p∧q”为假，
∴p真q假或p假q真，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{m≥-3}\\{m≤-5或m＞-1}\end{array}}\right.$，或$\left\{{\begin{array}{l}{m＜-3}\\{-5＜m≤-1}\end{array}}\right.$，
∴m＞-1或-5＜m＜-3．

点评 本题考查了基本不等式的性质、一元二次方程的实数根与判别式根与系数的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．