Question

5．边长为4的菱形ABCD中，满足∠DCB=60°，点E，F分别是边CD和CB的中点，AC交BD于点H，AC交EF于点O，沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABD，连接PA，PB，PD，得到如图所示的五棱锥P-ABFED．
（Ⅰ） 求证：BD⊥PA；
（Ⅱ） 求二面角B-AP-O的正切值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据面面垂直的性质定理即可证明BD⊥PA；
（Ⅱ） 建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角B-AP-O的正切值．

解答 证明：（1）因为平面PEF⊥平面ABD，平面PEF∩平面ABD=EF，PO?PEF，
∴PO⊥ABD
则PO⊥BD，又AO⊥BD，AO∩PO=O，AO?APO，PO?APO，
∴BD⊥平面APO，
∵AP?APO，∴BD⊥PA…．（6分）
（2）以O为原点，OA为x轴，OF为y轴，OP为z轴，建立坐标系
则$O（0，0，0），A（3\sqrt{3}，0，0），P（0，0，\sqrt{3}），B（\sqrt{3}，2，0）$，…（8分）
设$\vec n=（x，y，z）为平面OAP的一个法向量$，
则$\vec n=（0，1，0）$，$\vec m=（x，y，z）为平面ABP的一个法向量$，
$\overrightarrow{AB}$=（-2$\sqrt{3}$，2，0），$\overrightarrow{AP}$=（-3$\sqrt{3}$，0，$\sqrt{3}$），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AP}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{-2\sqrt{3}x+2y=0}\\{-3\sqrt{3}x+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，
令x=1，则y=$\sqrt{3}$，z=3，
则$\vec m=（1，\sqrt{3}，3）$…．（10分）
$cosθ=\frac{\vec m•\vec n}{{|{\vec m}||{\vec n}|}}=\frac{{\sqrt{3}}}{{\sqrt{13}}}$，
∴$tanθ=\frac{{\sqrt{30}}}{3}$…..（12分）

点评 本题主要考查线直线垂直的判定以及二面角的应用，建立坐标性，求出平面的法向量，利用向量法是解决本题的关键．综合性较强．