Question

3．在数列{a_n}中，已知${S_n}={2^n}-1$，则a₁²+a₂²+…+a_n²等于（　　）

• A． $\frac{{4}^{n}-1}{3}$
• B． $\frac{（{2}^{n}-1）^{2}}{3}$
• C． 4ⁿ-1
• D． （2ⁿ-1）²

Answer 1

分析 通过${S_n}={2^n}-1$，当n≥2时利用a_n=S_n-S_n-1，进而计算可知数列{${{a}_{n}}^{2}$}是首项为1、公比为4的等比数列，利用等比数列的求和公式计算即得结论．

解答 解：∵${S_n}={2^n}-1$，
∴a₁=S₁=2-1=1，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2ⁿ-1）-（2^n-1-1）=2^n-1，
∴a_n=2^n-1，${{a}_{n}}^{2}$=4^n-1，
∴数列{${{a}_{n}}^{2}$}是首项为1、公比为4的等比数列，
∴a₁²+a₂²+…+a_n²=$\frac{1-{4}^{n}}{1-4}$=$\frac{{4}^{n}-1}{3}$，
故选：A．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．