Question

3．下列函数中，在区间（0，2）上递增的是（　　）

• A． y=log_0.5（x+1）
• B． $y={log_2}\sqrt{{x^2}-1}$
• C． $y={log_2}\frac{1}{x}$
• D． $y={log_{\frac{1}{2}}}（5-4x+{x^2}）$

Answer 1

分析 根据函数单调性定义及对数函数单调性即可判断选项A，C的正误，通过求函数定义域，即可判断选项B的函数在区间（0，2）上无意义，从而判断B错误，而根据二次函数、对数函数及复合函数的单调性即可判断选项D的函数在区间（0，2）上的单调性，从而便可找出正确选项．

解答 解：A．x∈（0，2），x增大时，x+1增大，log_0.5（x+1）减小，即y减小，∴该函数在（0，2）上递减，∴该选项错误；
B．函数$y=lo{g}_{2}\sqrt{{x}^{2}-1}$的定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞）；
∴该函数在（0，2）上无意义，∴该选项错误；
C．x∈（0，2），x增大时，$\frac{1}{x}$减小，y减小，∴该函数在（0，2）上递减，∴该选项错误；
D．t=5-4x+x²在x∈（0，2）上递减，且$y=lo{g}_{\frac{1}{2}}t$在t∈（1，5）上为减函数；
∴复合函数$y=lo{g}_{\frac{1}{2}}（5-4x+{x}^{2}）$在（0，2）上递增，∴该选项正确．
故选D．

点评 考查对数函数、二次函数的单调性，函数单调性的定义，以及复合函数单调性的判断，函数定义域的求法．