Question

14．定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意的x∈D，都存在常数M≥0，使|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为f（x）的一个上界．已知$f（x）=lo{g_{\frac{1}{2}}}\frac{1-ax}{x-1}$
（1）若函数f（x）为奇函数，求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，求函数f（x）在区间$[{\frac{5}{3}，3}]$上的所有上界构成的集合．

Answer 1

分析 （1）根据奇函数的定义，得出f（-x）+f（x）=0，列出方程求出a的值；
（2）写出a=-1时函数f（x）的解析式，判断f（x）在区间$[{\frac{5}{3}，3}]$上为单调增函数，求出f（x）的值域，即可得出M的取值集合．

解答 解：（1）∵$f（x）=lo{g_{\frac{1}{2}}}\frac{1-ax}{x-1}$，且f（x）为奇函数，
∴f（-x）+f（x）=${log}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1+ax}{-x-1}$+${log}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1-ax}{x-1}$=${log}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1{-（ax）}^{2}}{1{-x}^{2}}$=0，
解得a=±1；
当a=1时，不合题意，舍去，
∴实数a的值是-1；
（2）∵a=-1时，函数f（x）=${log}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1+x}{x-1}$=${log}_{\frac{1}{2}}$（1+$\frac{2}{x-1}$）
∴f（x）在区间$[{\frac{5}{3}，3}]$上为单调增函数，
且f（$\frac{5}{3}$）=${log}_{\frac{1}{2}}$（1+$\frac{2}{\frac{5}{3}-1}$）=-2，
f（3）=${log}_{\frac{1}{2}}$（1+$\frac{2}{3-1}$）=-1，
∴-2≤f（x）≤-1，
∴|f（x）|≤2，
∴M≥2，
即所有上界构成的集合为[2，+∞）．

点评 本题考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题，也考查了求函数值域的应用问题，是基础题目．