Question

2．已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是AB中点，E，F分别为A₁D，A₁C的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面ABC；
（Ⅱ）求证：EF⊥平面ABB₁A₁．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结DC，则EF∥DC，由此能证明EF∥平面ABC．
（Ⅱ）推导出DC⊥A₁A，CD⊥AB，从而CD⊥平面ABB₁A₁，由此能证明EF⊥平面ABB₁A₁．

解答 （本小题满分8分）
证明：（Ⅰ）连结DC，在△A₁DC中，E、F分别是A₁D、A₁C的中点，
∴EF∥DC，
又∵DC?平面ABC，EF?平面ABC，
∴EF∥平面ABC．
（Ⅱ）∵AA₁⊥平面ABC，DC?平面ABC，
∴DC⊥A₁A，
在正三棱锥ABC-A₁B₁C₁中，CA=CB，D是AB的中点，
∴CD⊥AB，
∵AA₁∩AB=A，AA₁?平面AA₁BB₁，AB?平面AA₁BB₁，
∴CD⊥平面ABB₁A₁，
∵EF∥CD，∴EF⊥平面ABB₁A₁．

点评 本题考查线面平行与线面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．