Question

15．正三棱锥P-ABC的侧面是底边长为a，顶角为30°的等腰三角形．过点A作这个三棱锥的截面AEF，点E、F分别在棱PB、PC上．
（1）如图，作出平面AEF与平面ABC的交线；
（2）△AEF周长的最小值是否存在？若存在，求出其最小值，并指出此时直线BC与平面AEF的位置关系；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）延长FE，CB，设FE∩BC=D，则AD即为所求直线；
（2）作出三棱锥的侧面展开图，则AA′为最短距离，利用余弦定理求出PA，则AA′=$\sqrt{2}PA$．

解答 解：（1）延长FE，CB，设FE∩BC=D
连结AD，则直线AD为平面AEF与平面ABC的交线．
（2）作三棱锥P-ABC的侧面展开图，
连结AA′，则△AEF的周长最小值为AA′．

由题意可知PA=PB，AB=a，∠APB=30°，
由余弦定理得：cos30°=$\frac{2P{A}^{2}-{a}^{2}}{2P{A}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得PA=$\sqrt{2+\sqrt{3}}$a．
∴AA′=$\sqrt{2}PA$=$\sqrt{4+2\sqrt{3}}$a=（$\sqrt{3}+1$）a．
此时，EF∥BC，故BC∥平面AEF．

点评 本题考查了空间直线与平面的位置关系，多面体表面的最短距离问题，属于中档题．