Question

5．数列{a_n}满足a₁=1，a_n=$\frac{n{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}+2n-2}$（n≥2，n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设b_n=（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$）a_n，求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）由a₁=1，a_n=$\frac{n{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}+2n-2}$（n≥2，n∈N^*），分别取n=2，3，4即可得出．可得a₂，a₃，a₄．
（2）由a_n=$\frac{n{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}+2n-2}$，两边取倒数化简可得：$\frac{n}{{a}_{n}}$+1=2（$\frac{n-1}{{a}_{n-1}}$+1），利用等比数列的通项公式即可得出．
（3）b_n=（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$）a_n=$\frac{n}{{2}^{n}}$．利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）由a₁=1，a_n=$\frac{n{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}+2n-2}$（n≥2，n∈N^*）．可得a₂=$\frac{2{a}_{1}}{{a}_{1}+2×2-2}$=$\frac{2}{3}$，同理可得a₃=$\frac{3}{7}$，a₄=$\frac{4}{15}$．
（2）由a_n=$\frac{n{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}+2n-2}$，两边取倒数化简可得：$\frac{n}{{a}_{n}}$+1=2（$\frac{n-1}{{a}_{n-1}}$+1），
∴数列$\{\frac{n}{{a}_{n}}+1\}$是等比数列，首项为2，公比为2．
∴$\frac{n}{{a}_{n}}$+1=2ⁿ，
解得a_n=$\frac{n}{{2}^{n}-1}$．
（3）b_n=（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$）a_n=$\frac{n}{{2}^{n}}$．
∴数列{b_n}的前n项和S_n=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$．
$\frac{1}{2}{S}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n}}$+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{2}{S}_{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=1-$\frac{2+n}{{2}^{n+1}}$．
∴S_n=$2-\frac{2+n}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．