Question

14．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+4x，x≤0}\\{xlnx，x＞0}\end{array}\right.$ 图象上有且仅有四个不同的点关于直线y=e的对称点在函数g（x）=kx+2e+1的图象上，则实数k的取值范围为（　　）

• A． （1，2）
• B． （-1，0）
• C． （-2，-1）
• D． （-6，-1）

Answer 1

分析 由题意可化为函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+4x，x≤0}\\{xlnx，x＞0}\end{array}\right.$ 图象与y=-kx-1的图象有且只有四个不同的交点，结合题意作图求解即可．

解答 解：∵函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+4x，x≤0}\\{xlnx，x＞0}\end{array}\right.$ 图象上有且仅有四个不同的点关于直线y=e的对称点在函数g（x）=kx+2e+1的图象上，
而函数g（x）=kx+2e+1关于直线y=e的对称图象为y=-kx-1，
∴函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+4x，x≤0}\\{xlnx，x＞0}\end{array}\right.$ 图象与y=-kx-1的图象有且只有四个不同的交点，
作函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+4x，x≤0}\\{xlnx，x＞0}\end{array}\right.$ 图象与y=-kx-1的图象如下，
易知直线y=-kx-1恒过点A（0，-1），
设直线AC与y=xlnx相切于点C（x，xlnx），
y′=lnx+1，
故lnx+1=$\frac{xlnx+1}{x}$，
解得，x=1；
故k_AC=1；
设直线AB与y=xlnx相切于点C（x，x²+4x），
y′=2x+4，
故2x+4=$\frac{{x}^{2}+4x+1}{x}$，
解得，x=-1；
故k_AC=-2+4=2；
故1＜-k＜2，
故-2＜k＜-1；
故选：C．

点评 本题考查了函数的性质的判断与应用，同时考查了学生的作图能力及数形结合的思想应用．