Question

10．已知数列{a_n}满足a₁=a，a₂=b，n≥2时，a_n+1=a_n-a_n-1，S_n为其前n项之和，且S₁₉₄₉=1978，S₂₀₁₃=1960，则S₂的值为-18．

Answer 1

分析 利用a₁=a，a₂=b，n≥2时a_n+1=a_n-a_n-1，通过计算出数列前几项的值确定周期，进而计算可得结论．

解答 解：∵a₁=a，a₂=b，n≥2时，a_n+1=a_n-a_n-1，
∴a₃=a₂-a₁=b-a，
a₄=a₃-a₂=（b-a）-b=-a，
a₅=a₄-a₃=（-a）-（b-a）=-b，
a₆=a₅-a₄=（-b）-（-a）=a-b，
a₇=a₆-a₅=（a-b）-（-b）=a，
a₈=a₇-a₆=a-（a-b）=b，
…
∴数列{a_n}是以6为周期的周期数列，
又∵1949=6×324+5，2013=6×335+3，
∴S₁₉₄₉=1978=324×[a+b+（b-a）+（-a）+（-b）+（a-b）]+[a+b+（b-a）+（-a）+（-b）]=b-a，
S₂₀₁₃=1960=335×[a+b+（b-a）+（-a）+（-b）+（a-b）]+[a+b+（b-a）]=2b，
解得：a=-998，b=980，
∴S₂=a+b=-998+980=-18，
故答案为：-18．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，找出周期是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．