Question

17．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=-7，S₈=0．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）数列{b_n}满足b₁=$\frac{1}{16}$，b_nb_n+1=2^an，求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由S₈=0得a₈=7，从而可得d=$\frac{a8-a1}{8-1}$=2，从而求得通项公式；
（Ⅱ）由方程可得b_n+2=4b_n，从而求得{b_n}是以$\frac{1}{16}$为首项，以2为公比的等比数列，从而求通项公式．

解答 解：（Ⅰ）由S₈=0得a₁+a₈=-7+a₈=0，
∴a₈=7，d=$\frac{a8-a1}{8-1}$=2，
所以{a_n}的前n项和：
S_n=na₁+$\frac{n（n-1）}{2}$d
=-7n+n（n-1）=n²-8n，
a_n=-7+2（n-1）=2n-9．
（Ⅱ）由题设得b_nb_n+1=2${\;}^{{a}_{n}}$，b_n+1b_n+2=2${\;}^{{a}_{n+1}}$，
两式相除得b_n+2=4b_n，
又∵b₁b₂=2${\;}^{{a}_{1}}$=$\frac{1}{128}$，b₁=$\frac{1}{16}$，
∴b₂=$\frac{1}{8}$=2b₁，
∴b_n+1=2b_n，
即{b_n}是以$\frac{1}{16}$为首项，以2为公比的等比数列，
故b_n=2^n-5．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的性质的判断与应用，同时考查了方程思想的应用，属于中档题．