Question

15．求函数y=cos2x+sinx；x∈[$\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}$]的值域．

Answer 1

分析 利用二倍角公式化简得到y关于sinx的二次函数，利用二次函数的性质求出最值．

解答 解：y=cos2x+sinx=1-2sin²x+sinx=-2（sinx-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{9}{8}$．
∵x∈[$\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}$]，∴sinx∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
∴当sinx=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，函数y=cos2x+sinx取得最大值$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
当sinx=1时，函数y=cos2x+sinx取得最小值0．
∴函数y=cos2x+sinx在[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]上的值域为[0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，二次函数的性质，属于中档题．