Question

1．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PD⊥平面ABCD，点D₁为棱PD的中点，过D₁作与平面ABCD平行的平面与棱PA，PB，PC相交于A₁，B₁，C₁，∠BAD=60°．
（1）证明：B₁为PB的中点；
（2）若AB=2，且二面角A₁-AB-C的大小为60°，AC、BD的交点为O，连接B₁O．求三棱锥B₁-ABO外接球的体积．

Answer 1

分析 （1）根据面面平行的性质结合中位线的性质即可证明：B₁为PB的中点；
（2）建立坐标系，求出平面的法向量，结合三棱锥的外接球的性质进行求解即可．

解答 解：（1）连结B₁D₁．过D₁作与平面ABCD平行的平面与棱PA，PB，PC相交于A₁，B₁，C₁，
在平面ABCD∥平面A₁B₁C₁D₁，
∵平面PBD∩平面ABCD=BD，平面PBD∩平面A₁B₁C₁D₁=B₁D₁，
∴BD∥B₁D₁，
∵点D₁为棱PD的中点，
∴点B₁为棱PB的中点
即B₁D₁为△PBD的中位线，即B₁为PB中点．（4分）
（2）以O为原点，OA方向为x轴，OB方向为y轴，OB₁方向为z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，
则$A（\sqrt{3}，0，0）$，B（0，1，0），B₁（0，0，t），$C（-\sqrt{3}，0，0）$
从而$\overrightarrow{AP}=（-\sqrt{3}，0，t）$，$\overrightarrow{AB}=（-\sqrt{3}，1，0）$，
则$\overrightarrow{n_1}=（\sqrt{3}，3，\frac{3}{t}）$，又$\overrightarrow{n_2}=（0，0，1）$$cos＜\overrightarrow{n_1}，\overrightarrow{n_2}＞=\frac{{|\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}|}}{{|\overrightarrow{n_1}|•|\overrightarrow{n_2}|}}=\frac{{\frac{3}{t}}}{{\sqrt{3+9+\frac{9}{t^2}}}}=\frac{1}{2}$，则$t=\frac{3}{2}$．
由题可知，OA⊥OB，OA⊥OB₁，OB⊥OB₁，
即三棱锥B₁-ABO外接球为以OA、OB、OB₁为长、宽、高的长方体外接球，
则该长方体的体对角线长为$d=\sqrt{{1^2}+{{\sqrt{3}}^2}+{{（\frac{3}{2}）}^2}}=\frac{5}{2}$，即外接球半径为$\frac{5}{4}$．
则三棱锥B₁-ABO外接球的体积为$V=\frac{4}{3}π{R^3}=\frac{4}{3}π{（\frac{5}{4}）^3}=\frac{125π}{48}$．（12分）

点评 本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到面面的平行关系、二面角的求法及空间向量在立体几何中的应用．本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求．