Question

6．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA丄平面ABCD，AC丄AD，AB丄BC，∠BAC=45°，AD=2，AC=1，直线PA与平面PCD所成的角的正弦值为$\frac{{\sqrt{6}}}{6}$．
（Ⅰ）证明：PC丄AD；
（Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）建立坐标系，根据直线PA与平面PCD所成的角的正弦值为$\frac{{\sqrt{6}}}{6}$．求出P的坐标，结合向量法即可证明：PC丄AD；
（Ⅱ）求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角A-PC-D的正弦值．

解答 证明：（Ⅰ）以AD，AC，AP分别为x，y，z建立空间直角坐标系A-xyz，
 则D（2，0，0），C（0，1，0），
设P（0，0，m），则$\overrightarrow{PC}=（0，1，-m），\overrightarrow{CD}=（2，-1，0）$
设平面PCD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{PC}=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{CD}=0\end{array}\right.$即：$\left\{\begin{array}{l}y-mz=0\\ 2x-y=0\end{array}\right.$，
取z=2，则$\overrightarrow n=（m，2m，2）$
又$\overrightarrow{AP}=（0，0，m）$∴$|{cos?\overrightarrow{AP}，\overrightarrow n＞}|=|{\frac{2m}{{m•\sqrt{5{m^2}+4}}}}|=\frac{{\sqrt{6}}}{6}$解得 m=2
∵D（2，0，0），C（0，1，0），B（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），P（0，0，2），
∴$\overrightarrow{PC}$=（0，1，-2），$\overrightarrow{AD}$=（2，0，0），
则$\overrightarrow{PC}$•$\overrightarrow{AD}$=（0，1，-2）•（2，0，0）=0，
则$\overrightarrow{PC}$⊥$\overrightarrow{AD}$，即PC⊥AD
（Ⅱ）∵m=2，
∴平面PCD的法向量$\overrightarrow n=（1，2，1）$
$\overrightarrow{AD}$=（2，0，0）是平面PAC的法向量
cos＜$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{AD}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴sin＜$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\sqrt{30}}{6}$，
∴二面角A-PC-D的正弦值为$\frac{\sqrt{30}}{6}$．

点评 本题主要考查直线垂直的位置关系的判断以及线面角，二面角的求解，建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解，综合性较强，运算量较大．