Question

15．已知$f（x）=\left\{\begin{array}{l}|{{{log}_3}x}|，0＜x≤3\\ \frac{1}{3}{x^2}-\frac{10}{3}x+8，x＞3\end{array}\right.，a，b，c，d$是互不相同的正数，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），则abcd的取值范围是（21，24）．

Answer 1

分析 先画出函数f（x）的图象，再根据条件利用对数函数的运算性质以及指数函数的对称性，利用数形结合，即可求出其范围．

解答 解：函数f（x）的图象如下图所示
若a、b、c、d互不相同，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），
不妨令a＜b＜c＜d，
则0＜a＜1，1＜b＜4，
则log₃a=-log₃b，即log₃a+log₃b=log₃ab=0，
则ab=1，
由$\frac{1}{3}$x²-$\frac{10}{3}$x+8=1得x²-10x+21=0，
得x=7或x=3，
同时c∈（3，4），d∈（6，7），
∵c，d关于x=5对称，∴$\frac{c+d}{2}$=5，
则c+d=10，则10=c+d，
同时cd=c（10-c）=-c²+10c=-（c-5）²+25，
∵c∈（3，4），
∴当c=3时，cd=3×7=21，
当c=4时，cd=4×6=24，
∴cd∈（21，24），
即abcd=cd∈（21，24），
故答案为：（21，24）；

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，由题意正确画出图象和熟练掌握对数函数的图象是解题的关键．利用对数函数的运算性质以及指数函数的对称性转化为一元二次函数是解决本题的关键．