Question

4．已知函数f（x）=ax²-1的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线8x-y+2=0平行，若数列$\left\{{\frac{1}{f（n）}}\right\}$的前n项和为S_n，则S₂₀₁₅的值为（　　）

• A． $\frac{4030}{4031}$
• B． $\frac{2014}{4029}$
• C． $\frac{2015}{4031}$
• D． $\frac{4029}{4031}$

Answer 1

分析 f′（x）=2ax，由于函数f（x）=ax²-1的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线8x-y+2=0平行，可得：f′（1）=2a=8，解得a=4．于是f（n）=4n²-1．利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：f′（x）=2ax，
∵函数f（x）=ax²-1的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线8x-y+2=0平行，
∴f′（1）=2a=8，解得a=4．
∴f（x）=4x²-1，f（n）=4n²-1．
∴$\frac{1}{f（n）}$=$\frac{1}{4{n}^{2}-1}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．
∴数列$\left\{{\frac{1}{f（n）}}\right\}$的前n项和S_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$
=$\frac{n}{2n+1}$．
则S₂₀₁₅=$\frac{2015}{2×2015+1}$=$\frac{2015}{4031}$．
故选：C．

点评 本题考查了导数几何意义的应用、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．