Question

13．已知等比数列{a_n}的公比不为1，a₁=$\frac{1}{2}$，且a₁，2a₂，4a₃成等差数列．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）求证：a₁+a₃+a₅+…+a_2n-1＜$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 （1）由a₁，2a₂，4a₃成等差数列，可得2×2a₂=a₁+4a₃，代入解出即可得出．
（2）由a_2n-1=$（\frac{1}{2}）^{2n-1}$，利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 （1）解：∵a₁，2a₂，4a₃成等差数列，∴2×2a₂=a₁+4a₃，4×q=1+4q²，解得q=$\frac{1}{2}$．
∴a_n=$（\frac{1}{2}）^{n}$．
（2）证明：a_2n-1=$（\frac{1}{2}）^{2n-1}$．
∴a₁+a₃+a₅+…+a_2n-1=$\frac{1}{2}$×$\frac{1-\frac{1}{{4}^{n}}}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{2}{3}$$（1-\frac{1}{{4}^{n}}）$＜$\frac{2}{3}$．
∴a₁+a₃+a₅+…+a_2n-1＜$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．