Question

12．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足：S_n=2a_n-n（n∈N^*）．
（1）证明数列{a_n+1}是等比数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b_n=log₂（a_n+1），求数列{$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}+1}$}的前n项和T_n，并证明：$\frac{1}{2}$≤T_n＜2．

Answer 1

分析 （1）由已知条件，写出a₁=1，化简整理得$\frac{{a}_{n}+1}{{a}_{n-1}+1}=2$，{a_n+1}是以1首项，以2为公比的等比数列，写出其通项公式，
（2）求得b_n=n，写出数列{$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}+1}$}的通项公式，采用乘以公比错位相减求得前n项和T_n，可以证明$\frac{1}{2}$≤T_n＜2．

解答 解：（1）S_n=2a_n-n（n∈N^*），当n=1时，a₁=1，
当n≥2时，a₂=3，
S_n-1=2a_n-1-n+1，
两式相减得：a_n=2a_n-2a_n-1-1，
∴$\frac{{a}_{n}+1}{{a}_{n-1}+1}=2$，$\frac{{a}_{2}+1}{{a}_{1}+1}=2$成立，
{a_n+1}是以1首项，以2为公比的等比数列，
∴${a}_{n}={2}^{n}-1$（n∈N^*），
（2）证明：b_n=log₂（a_n+1）=$lo{g}_{2}{2}^{n}$=n，
$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}+1}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+…+\frac{n}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{4}+\frac{2}{8}+\frac{3}{16}+…+\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
两式相减得：$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+…+\frac{1}{{2}^{n}}-\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=2-$\frac{2+n}{{2}^{n}}$，
当n=1，T_n=$\frac{1}{2}$
∴$\frac{1}{2}$≤T_n＜2．

点评 本题考查求数列的通项公式和采用错位相减法求前n项和，过程简单，属于中档题．