Question

7．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，公差d≠0，且S₁，S₂，S₄成等比数列．
（1）求数列S₁，S₂，S₄，…的公比q；
（2）设b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$，且S₂=4，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d；从而化简可得d=2a₁，从而求公比；
（2）由S₂=2a₁+d=4a₁=4可得a₁=1；从而求得b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$=2^2n-1=$\frac{{4}^{n}}{2}$，从而求前n项和．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d；
S₁=a₁，S₂=2a₁+d，S₄=4a₁+6d，
故（2a₁+d）²=a₁（4a₁+6d），
故d=2a₁，
故q=$\frac{{S}_{2}}{{S}_{1}}$=$\frac{4{a}_{1}}{{a}_{1}}$=4；
（2）∵S₂=2a₁+d=4a₁=4，
∴a₁=1；
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1，
∴b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$=2^2n-1=$\frac{{4}^{n}}{2}$，
∴{b_n}是以2为首项，4为公比的等比数列，
∴T_n=$\frac{2（1-{4}^{n}）}{1-4}$=$\frac{2}{3}$（4ⁿ-1）．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的性质的判断与应用，同时考查了方程思想的应用．