Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，对一切n∈N*，点（n，

Sn

n

）都在函数f（x）=x+

an

2x

的图象上．
（1）求a₁，a₂，a₃的值，猜想a_n的表达式，并证明你的猜想．
（2）设A_n为数列{

an-1

an

}的前n项积，是否存在实数a，使得不等式A_n

an+1

＜f(a)-

an+3

2a

对一切n∈N*都成立？若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题设知

Sn

n

=n+

an

2n

，S_n=n²+

1

2

a_n，令n=1，2，3，分别求出a₁，a₂，a₃，然后仔细观察，总结规律，猜想：a_n=2n（n∈N*），再用用数字归纳法证明．
（2）由

an-1

an

=1-

1

an

，知A_n=（1-

1

a1

）（1-

1

a2

）（1-

1

an

），A_n

an+1

=（1-

1

a1

）（1-

1

a2

）（1-

1

an

）

2n+1

，又f（a）-

an+3

2a

=a+

an

2a

-

an+3

2a

=a-

3

2a

，故A_n

an+1

＜f（a）-

an+3

2a

对一切n∈N*都成立，由此能够推导出使得所给不等式对一切n∈N*都成立的实数a存在，并且能求出a的取值范围．

解答：解：（1）∵点（n，

Sn

n

）都在函数f（x）=x+

an

2x

的图象上，故

Sn

n

=n+

an

2n

．
∴S_n=n²+

1

2

a_n，令n=1得a₁=1+

1

2

a₁，∴a₁=2
令n=2得a₁+a₂=4+

1

2

a₂，∴a₂=4
令n=3得a₁+a₂+a₃=9+

1

2

a₃，∴a₃=6
由此猜想：a_n=2n（n∈N*），（2分）
下面用数字归纳法证明：
①当n=1时，由上面的求解知，猜想成立．（3分）
②假设n=k时猜想成立，即a_k=2k成立，
那么，当n=k+1时，由条件知，S_k=k²+

1

2

a_k，S_k+1=（k+1）²+

1

2

a_k+1，
两式相减，得a_k+1=2k+1+

1

2

a_k+1-

1

2

a_k，
∴a_k+1=4k+2-a_k=4k+2-2k=2（k+1）
即当n=k+1时，猜想成立．
根据①、②知，对一切n∈N*，a_n=2n成立．（6分）
（2）∵

an-1

an

=1-

1

an

，故A_n=（1-

1

a1

）（1-

1

a2

）（1-

1

an

），
∴A_n

an+1

=（1-

1

a1

）（1-

1

a2

）（1-

1

an

）

2n+1

又f（a）-

an+3

2a

=a+

an

2a

-

an+3

2a

=a-

3

2a

故A_n

an+1

＜f（a）-

an+3

2a

对一切n∈N*都成立，就是
（1-

1

a1

）（1-

1

a2

）（1-

1

an

）•

2n+1

＜a-

3

2a

对一切n∈N*都成立．（8分）
设g（n）=（1-

1

a1

）（1-

1

a2

）（1-

1

an

）

2n+1

，则只需g（n）_max＜a-

3

2a

即可．（9分）
由于

g(n+1)

g(n)

=（1-

1

an+1

）•

2n+3

2n+1

=

2n+1

2n+2

•

2n+3

2n+1

=

4n2+8n+3

4n2+8n+4

＜1
∴g（n+1）＜g（n），故g（n）是单调递减，
于是g（n）_max=g（1）=

3

2

，（12分）
由

3

2

＜a-

3

2a

得

(a- 3 )(2a+ 3 )

a

＞0解得-

3

2

＜a＜0或a＞

3

．
综上所述，使得所给不等式对一切n∈N*都成立的实数a存在，且a的取值范围为（-

3

2

，0）∪（

3

，+∞）．（14分）

点评：本题考是数列的性质和综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意不等式的合理运用．