Question

在四边形ABCD中，BC=2，DC=4，且∠A：∠ABC：∠C：∠ADC=3：7：4：10，求AB的长．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：解三角形

分析：连接BD，根据∠A：∠ABC：∠C：∠ADC=3：7：4：10，求出C的度数，在三角形BCD中，利用余弦定理求出BD的长，利用勾股定理的逆定理求出∠CBD为直角，进而求出∠ABD的度数，得到∠BDA的度数，在三角形ABD中，利用正弦定理求出AB的长即可．

解答： 解：连结BD，由题意得∠A=45°，∠ABC=105°，∠C=60°，∠ADC=150°，
在△BCD中，由余弦定理得：BD²=BC²+CD²-2BC•CDcosC=4+16-8=12，
解得：BD=2

3

，
∵BD²+BC²=CD²，
∴∠CBD=90°，
∴∠ABD=15°，
∴∠BDA=120°，
在△ABD中，由正弦定理

AB

sin∠ADB

=

BD

sinA

，
则AB=

BDsin∠ADB

sinA

=

2 3 × 3 2

2 2

=3

2

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．