Question

已知数列{a_n}满足S_n+a_n=2n+1,
(1)写出a₁,a₂,a_3,并推测a_n的表达式,(2)用数学归纳法证明所得的结论.

Answer 1

(1)由S_n+a_n=2n+1得a₁=, a₂=, a₃=, ∴a_n= 
(2)证明：当n=1时成立. 假设n=k时命题成立,即a_k=,   
当n=k+1时,a₁+a₂+…a_k+a_k+1+a_k+1=2(k+1)+1,  
∵a₁+a₂+…a_k =2k+1-a_k, ∴2a_k+1=4-  ,     ∴a_k+1=2-成立.
根据上述知对于任何自然数n，结论成立.

略