Question

已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=2x-x²．
（1）求函数f（x）的解析式，并画出函数f（x）的图象；
（2）根据图象写出单调区间和值域．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：

分析：（1）根据函数奇偶性的性质即可求函数f（x）的解析式，并画出函数f（x）的图象；
（2）根据图象即可写出单调区间和值域．

解答： 解：（1）若x＜0，则-x＞0，
∵当x≥0时，f（x）=2x-x²．
∴f（-x）=-2x-x²．
∵f（x）是偶函数，
∴f（-x）=-2x-x²=f（x），
即f（x）=-2x-x²．x＜0，
即f（x）=

2x-x2， x≥0 -x2-2x， x＜0

．
则对应的图象为
（2）由图象可知函数的增区间为（-∞，-1]和（0，1），减区间为（-1，0）和（1，+∞），
值域为（-∞，1]．

点评：本题主要考查函数解析式的求解，利用函数奇偶性的性质是解决本题的关键．