Question

16．已知函数f（x）=xⁿ+f′（1）（n∈N），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+3y-2=0垂直，则函数y=f（x）在区间[-1，2]上的最小值是2．

Answer 1

分析 求出f（x）的导数，可得切线的斜率，再由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，解方程可得n=3，求出导数，判断导数在[-1，2]的符号，可得单调性，进而得到所求最小值．

解答 解：函数f（x）=xⁿ+f′（1）的导数为f′（x）=nx^n-1，
可得y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为f′（1）=n，
由切线与直线x+3y-2=0垂直，可得n•（-$\frac{1}{3}$）=-1，
解得n=3，即有f（x）=x³+3，
可得f′（x）=3x²，
即有f′（x）≥0在[-1，2]恒成立，可得f（x）在[-1，2]递增，
即有f（-1）取得最小值，且为2．
故答案为：2．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性，考查函数的最值的求法，注意运用单调性，考查运算能力，属于中档题．