Question

5．设关于x的一元二次方程x²+ax-$\frac{b^2}{4}$+1=0．
（1）若a是从1，2，3这三个数中任取的一个数，b是从0，1，2这三个数中任取的一个数，求上述方程中有实根的概率；
（2）若a是从区间[0，3]中任取的一个数，b是从区间[0，2]中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．

Answer 1

分析 （1）利用有序实数对表示基本事件，由古典概型公式解答；
（2）表示a，b满足的区域，求出面积，利用几何概型解答．

解答 解：（1）由题意，知基本事件共有9个，可用有序实数对表示为（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2），
其中第一个表示a的取值，第二个表示b的取值．
由方程${x^2}+ax-\frac{b^2}{4}+1=0$的$△={a^2}-4（-\frac{b^2}{4}+1）={a^2}+{b^2}-4≥0$，
可得，a²+b²≥4，
所以方程${x^2}+ax-\frac{b^2}{4}+1=0$有实根包含7个基本事件，
即（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）．
所以，此时方程${x^2}+ax-\frac{b^2}{4}+1=0$有实根的概率为$\frac{7}{9}$．
（2）a，b的取值所构成的区域如图所示，其中0≤a≤3，0≤b≤2，
∴构成“方程${x^2}+ax-\frac{b^2}{4}+1=0$有实根”这一事件的区域为{（a，b）|a²+b²≥4，0≤a≤3，0≤b≤2}（图中阴影部分）
∴此时所求概率为$\frac{{2×3-\frac{1}{4}×π×{2^2}}}{2×3}=1-\frac{π}{6}$．

点评 本题考查了古典概型、几何概型的概率公式的运用；关键是明确事件的属性，正确选择概率模型．