Question

15．设数列{a_n}是等差数列，首项为3，公差为2．
（1）求数列{a_n}的前n项和．
（2）求数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）求出等差数列的通项，再求数列{a_n}的前n项和．
（2）留利用裂项法，即可求数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前n项和．

解答 解：（1）由已知得数列{a_n}是等差数列，首项为3，公差为2，
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1，
∴S_n=$\frac{n（3+2n+1）}{2}$=n²+2n，
即数列{a_n}的前n项和为S_n=n²+2n．
（2）由（1）可知S_n=n²+2n，
∴$\frac{1}{Sn}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}×（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，
∴数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前n项和为$\frac{1}{2}×（\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{n-2}-\frac{1}{n}+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$=$\frac{1}{2}×（\frac{1}{1}+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$=$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}$．
故数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前n项和为$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}$．

点评 本题考查等差数列的通项与求和，考查裂项法求和，考查学生的计算能力，属于中档题．