Question

14．已知点P是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）右支上一点，F₁、F₂分别是双曲线的左、右焦点，M为△PF₁F₂的内心，若S${\;}_{△IP{F}_{1}}$=S${\;}_{△MP{F}_{2}}$+$\frac{1}{2}$S${\;}_{△M{F}_{1}{F}_{2}}$成立，则双曲线的离心率为（　　）

• A． 4
• B． $\frac{5}{2}$
• C． 2
• D． $\frac{5}{3}$

Answer 1

分析 设圆M与△PF₁F₂的三边F₁F₂、PF₁、PF₂分别相切于点E、F、G，连接ME、MF、MG，可得△MF₁F₂，△MPF₁，△MPF₂可看作三个高相等且均为圆I半径r的三角形．利用三角形面积公式，代入已知式，化简可得|PF₁|-|PF₂|=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|，再结合双曲线的定义与离心率的公式，可求出此双曲线的离心率．

解答 解：如图，设圆M与△PF₁F₂的三边F₁F₂、PF₁、PF₂分别相切于点E、F、G，连接ME、MF、MG，
则ME⊥F₁F₂，MF⊥PF₁，MG⊥PF₂，它们分别是
△MF₁F₂，△MPF₁，△MPF₂的高，
∴${S}_{△MP{F}_{1}}$=$\frac{1}{2}×$|PF₁|×|MF|=$\frac{r}{2}$|PF₁|，
S${\;}_{△MP{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}×$|PF₂|×|MG|=$\frac{r}{2}$|PF₂|
S${\;}_{△M{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$×|F₁F₂|×|ME|=$\frac{r}{2}$|F₁F₂|，其中r是△PF₁F₂的内切圆的半径．
∵S${\;}_{△MP{F}_{1}}$=S${\;}_{△MP{F}_{2}}$+$\frac{1}{2}$S${\;}_{△M{F}_{1}{F}_{2}}$
∴$\frac{r}{2}$|PF₁|=$\frac{r}{2}$|PF₂|+$\frac{r}{4}$|F₁F₂|
两边约去$\frac{r}{2}$得：|PF₁|=|PF₂|+$\frac{1}{2}$|F₁F₂|
∴|PF₁|-|PF₂|=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|
根据双曲线定义，得|PF₁|-|PF₂|=2a，|F₁F₂|=2c
∴2a=c⇒离心率为e=$\frac{c}{a}$=2
故选C．

点评 本题将三角形的内切圆放入到双曲线当中，用来求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的基本性质、三角形内切圆的性质和面积计算公式等知识点，属于中档题．