Question

4．已知函数f（x）=2sin（3ωx+$\frac{π}{3}$），其中ω＞0
（1）若f（x+θ）是周期为2π的偶函数，求ω及θ的值；
（2）若f（x）在（0，$\frac{π}{3}$]上是增函数，求ω的最大值；
（3）当ω=$\frac{2}{3}$时，将函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有10个零点，求b的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据周期公式2π=$\frac{2π}{3ω}$，且ω＞0，得ω值，根据f（x+θ）是偶函数，f（-x+θ）=f（x+θ），可得θ的值；
（2）根据正弦函数的单调性，可得ωπ+$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$，解得答案；
（3）若y=g（x）在[0，b]上有10个零点，则b不小于第10个零点的横坐标即可，进而得到答案．

解答 解：（1）由函数解析式f（x）=2sin（3ωx+$\frac{π}{3}$），ω＞0整理可得
f（x+θ）=2sin[3ω（x+θ）+$\frac{π}{3}$]=2sin（3ωx+3ωθ+$\frac{π}{3}$），
由f（x+θ）的周期为2π，根据周期公式2π=$\frac{2π}{3ω}$，且ω＞0，得ω=$\frac{1}{3}$，
∴f（x+θ）=2sin（x+θ+$\frac{π}{3}$），
∵f（x+θ）为偶函数，定义域x∈R关于y轴对称，
令g（x）=f（x+θ）=2sin（x+θ+$\frac{π}{3}$），
∴g（-x）=g（x），
2sin（x+θ+$\frac{π}{3}$）=2sin（-x+θ+$\frac{π}{3}$），
∴x+θ+$\frac{π}{3}$=π-（-x+θ+$\frac{π}{3}$）+2kπ，k∈Z，
∴θ=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z．∴ω=$\frac{1}{3}$，θ=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z．---------（4分）
（2）∵ω＞0，
∴当x∈（0，$\frac{π}{3}$]时，3ωx+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，ωπ+$\frac{π}{3}$]，
设u=3ωx+$\frac{π}{3}$，由于y=sinu在（$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]上是增函数，在[$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$]上是减函数，所以ωπ+$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$，∴ω≤$\frac{1}{6}$，∴ω的最大值为$\frac{1}{6}$---------（6分）
（3）当ω=$\frac{2}{3}$时，将函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位，再向上平移1个单位，得到y=2sin2x+1的图象，所以g（x）=2sin2x+1，
令g（x）=0，得x=kπ+$\frac{7π}{12}$或x=kπ+$\frac{11π}{12}$，k∈Z，
所以在[0，π]上恰好有两个零点，
若y=g（x）在[0，b]上有10个零点，
则b不小于第10个零点的横坐标即可，即b的最小值为4π+$\frac{11π}{12}$=$\frac{59π}{12}$．-----（12分）

点评 本题考查的知识点是函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象和性质，函数f（x）=Asin（ωx+φ）的解析式求法，难度中档．